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ペントミノはポリオミノの一種である。5つの正方形を辺に沿ってつなげた形は回転・鏡像によって同じになるものを同一と考えると12種類ある。これらを総称してペントミノと呼ぶ。

鏡像を別物とすると、さらに6種増えて18種になる(F, L, N, P, Y, Z は鏡像が別物だが、I, T, U, V, W, X は線対称である)。これらを特に「片面型ペントミノ」とも呼ぶ。

90度回転まで考えると、対称性によって以下のようにグループ化できる。

・F,L,N,P,Y 線対称でも点対称でもない

・Z 線対称ではないが点対称である

・T,U,V,W 線対称であるが点対称でない

・I 2本の軸に対して線対称であり、点対称でもある

・X 4本の軸に対して線対称であり、90度回転対称でもある

◆商品

平面ペントミノ・立体ペントミノとも、多くのメーカーからパズル・知育玩具として発売されている。プラスチック製や木製のものが多い。代表的な製品にテンヨーのプラパズルがある。

ピースの数が12であることから、各ピースを十二星座や十二支に見立てたデザインも発表されている。

◆問題

最も一般的なペントミノの問題は、12片すべて使用して長方形を作ることである。

3x20, 4x15, 5x12, 6x10 の各長方形に対して、

・6x10 には 2,339通り

・5x12 には 1,010通り

・4x15 には 368通り

・3x20 には 2通り

の解がある。(回転・鏡像による解は同一のものとする)

6片ずつで 6x5 の長方形を2つ作る解もあり、その解から 6x10 と 5x12 のそれぞれ8種類の解が導かれる。

UXPILNFTWYZV と並べると、下のような 3x20 の1つの解が得られる。

3×20は2つしか解を持たないが、この解の中央部分を反転させることで3×20のいまひとつの解を得ることができる。

他の問題として、12片から1片を選び、残った11片のうちの9片で選んだ片の一辺を3倍に拡大した図形を作る問題がある。ペントミノ9セットで、3倍の大きさのペントミノ1セットを作ることもできる。

◆対戦ゲーム

ペントミノを利用して2人で遊ぶゲームがある。

8x8 のマスに交互にペントミノを置いていき、置けなくなったほうが負けになる。

両者が最善を尽くせば、先手が勝つ。

◆立体ペントミノ

ペントミノの各ピースの厚さを1辺の長さと同じにすると、12片の立体が得られる。これらを立体ペントミノまたはプレイナーペンタキューブと呼ぶ。

何種類かの直方体に組むことができ

・5x4x3 で 3940通り

・6x5x2 で 264通り

・10x3x2 で 12通り

の解がある。

3x4x5 の解答は 3940通りあるが、この数を最初に出したコンピュータにちなんで、FACOMの名称で市販されたこともある。

他に、1種のピースのみを複数使用して直方体を作る問題がある。この問題に関しては X以外のすべての片に対して解があることがわかっているが、いくつかは50片以上を必要とする。25片で立方体にできる物もある。

◆ライフゲームにおけるペントミノ

ジョン・ホートン・コンウェイが考案したライフゲームにおいてペントミノがどう変化するかは、初期の段階に考察された。

N,P,U,Y,Z はすべて3-4世代で消滅する。V,W はパンになり、I,L,T,X は、6-10世代後に信号灯(ブリンカーの集合体)になる。

残った Fペントミノ(ライフゲームでは rペントミノ・Rペントミノ とも呼ばれる)は、複雑な変化をする。その変化を追いかける過程でグライダーが発見されている。これは、安定するまでに1103世代を要する。最終形は、8個のブロックなど15個の固定物体・4個のブリンカー・6個のグライダーからなる。

また、IはO、LはQ、NはSともいわれる(このようにするとO~Zとなりつごうがよいため。)

◆その他

ペントミノは、ソロモン・ゴロムが1975年に商標をとったが、少なくとも1982年の時点でそれは失効している。

◆関連項目

・ ドミノ

・ ポリオミノ

・ 地球帝国:アーサー・C・クラークのSF小説。ペントミノに関するエピソードがあり、ペントミノについてかなり詳しく解説している。

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